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已知：過點A（0，1）且方向向量為
a
=(1，k)的直線l與⊙C：（x-2）2+（y-3）2=1相交于M、N兩點．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）求證：
AM
•
AN
=定值．
分析：（1）只要求出在極限情況，即相切時k的值為多少即可．（2）有切割弦定理可求數量積的值．
解答：解：（1）可設直線l的方程為y=kx+1，與圓的方程：（x-2）2+（y-3）2=1它的圓心（2，3）半徑是1．
直線與圓相切時有
|2k-3+1|
k2+1
=1，解得 k=
4-
7
3
或k=
4+
7
3
所以，
4-
7
3
＜k＜
4+
7
3
．
（2）點A（0，1）在圓外，直線l與⊙C：（x-2）2+（y-3）2=1相交于M、N兩點，
AM
•
AN
=|AM||AN|cos0°=|AM||AN|，過A引一切線，切點為T，|有切割弦定理可知：|AM||AN|=|AT|2
是定值．
點評：本題考查圓心到直線的距離，直線方程，在（1）中注意k的范圍的問題，容易出錯，（2）中的切割弦定理容易疏忽．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），左頂點為(
3
，0)．
（1）求雙曲線C的方程
（2）若直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線C交于不同的兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過點A（0，-1），求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e為偶函數，它的圖象過點A（0，-1），且在x=1處切線斜率為-2，x=
3
2
是f（x）的一個極值點
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）求f（x）的單調增區(qū)間；
（3）若對任意x∈R，不等式f（x）≤m（x2+1）都成立，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2011年高三數學復習（第8章 圓錐曲線）：8.10 向量在解析幾何中的應用（解析版） 題型：解答題

已知：過點A（0，1）且方向向量為的直線l與⊙C：（x-2）2+（y-3）2=1相交于M、N兩點．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）求證：=定值．

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科目：高中數學 來源：2011年高考數學復習：8.5 直線、圓的位置關系（解析版） 題型：解答題

已知：過點A（0，1）且方向向量為的直線l與⊙C：（x-2）2+（y-3）2=1相交于M、N兩點．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）求證：=定值．

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