Question

9．若x＞1，y＞$\frac{1}{2}$，不等式$\frac{{x}^{2}}{a（2y-1）}$+$\frac{4{y}^{2}}{a（x-1）}$≥1恒成立，則實數(shù)a的最大值是（　�。�

• A． 8
• B． 4
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 化簡可得a≤$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$恒成立，從而令2y-1=m，x-1=n，從而化$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$=$\frac{（1+n）^{2}}{m}$+$\frac{（1+m）^{2}}{n}$，從而利用基本不等式確定最小值，從而解得．

解答 解：∵$\frac{{x}^{2}}{a（2y-1）}$+$\frac{4{y}^{2}}{a（x-1）}$≥1恒成立，
∴$\frac{1}{a}$（$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$）≥1恒成立，
∵x＞1，y＞$\frac{1}{2}$，
∴2y-1＞0，x-1＞0，
故a＞0，
故可化為a≤$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$恒成立，
令2y-1=m，x-1=n，
則2y=1+m，x=1+n，（m＞0，n＞0）；
故$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$
=$\frac{（1+n）^{2}}{m}$+$\frac{（1+m）^{2}}{n}$
≥$\frac{4n}{m}$+$\frac{4m}{n}$，
（當(dāng)且僅當(dāng)n=m=1時，等號成立）；
又∵$\frac{4n}{m}$+$\frac{4m}{n}$≥8，
（當(dāng)且僅當(dāng)n=m時，等號成立）；
綜上所述，當(dāng)n=m=1，
即x=2，y=1時，等號成立；
故$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$的最小值為8，
故實數(shù)a的最大值是8，
故選：A．

點評 本題考查了基本不等式的變形應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用及恒成立問題與最值問題，同時考查了換元法的應(yīng)用．