Question

6．設橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁、F₂，點P（a，b）滿足|F₁F₂|=|PF₂|，設直線PF₂與橢圓交于M、N兩點，若|MN|=16，則橢圓的方程為（　　）

• A． $\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{108}=1$
• B． $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{75}=1$
• C． $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$
• D． $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$

Answer 1

分析 先確定a=2c，b=$\sqrt{3}$c，可得橢圓方程為3x²+4y²=12c²，直線PF₂的方程為y=$\sqrt{3}$（x-c），代入橢圓方程，消去y并整理，求出M，N的坐標，利用|MN|=16，可求橢圓的方程．

解答 解：因為點P（a，b）滿足|F₁F₂|=|PF₂|，所以$\sqrt{（a-c）^{2}+^{2}}$=2c，
整理得2e²+e-1=0，
所以e=$\frac{1}{2}$．
所以a=2c，b=$\sqrt{3}$c，可得橢圓方程為3x²+4y²=12c²，
直線PF₂的方程為y=$\sqrt{3}$（x-c），
代入橢圓方程，消去y并整理，得5x²-8cx=0，解得x=0或$\frac{8}{5}$c，
得M（0，-$\sqrt{3}$c），N（$\frac{8}{5}$c，$\frac{3\sqrt{3}}{5}$c），
所以|MN|=$\frac{16}{5}$c=16，
所以c=5，
所以橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{75}=1$．
故選：B．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質、直線與橢圓的位置關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．