Question

已知函數(shù)．

（1）若為的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

（2）當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的最大值。

 

Answer 1

【答案】

(1) (2) 當(dāng)時(shí)，取得最大值0．

【解析】

試題分析：（1）． 1分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061611534924308404/SYS201306161154342586388692_DA.files/image006.png">為的極值點(diǎn)，所以． 2分

即，解得．     3分

又當(dāng)時(shí)，，從而的極值點(diǎn)成立． 4分

（2）若時(shí)，方程可化為，．

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有解，

即求函數(shù)的值域．             7分

以下給出兩種求函數(shù)值域的方法：

方法1：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061611534924308404/SYS201306161154342586388692_DA.files/image020.png">，令，

則   ，             9分

所以當(dāng)，從而上為增函數(shù)，

當(dāng)，從而上為減函數(shù)，            10分

因此．

而，故，

因此當(dāng)時(shí)，取得最大值0．           12分

方法2：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061611534924308404/SYS201306161154342586388692_DA.files/image020.png">，所以．

設(shè)，則．

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061611534924308404/SYS201306161154342586388692_DA.files/image040.png">，故必有，又，

因此必存在實(shí)數(shù)使得，

，所以上單調(diào)遞減；

當(dāng)，所以上單調(diào)遞增；

當(dāng)上單調(diào)遞減；

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061611534924308404/SYS201306161154342586388692_DA.files/image050.png">，

當(dāng)，則，又．

因此當(dāng)時(shí)，取得最大值0．  12分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)判定函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)的 極值問(wèn)題，通過(guò)利用函數(shù)的單調(diào)性放縮法來(lái)證明不等式，進(jìn)而得到最值，屬于中檔題。