Question

10．如圖所示，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，左，右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂上頂點為B，延長BF₂交橢圓C于點A，且△ABF₁的周長為8．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)M、N分別為橢圓C的左、右頂點，P為直線l：x=4上的一動點（點P不在x軸上），連接MP交橢圓C于點Q，連接PN并延長交橢圓C于點R，則直線QR是否經(jīng)過一定點？若經(jīng)過，求出該定點的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的離心率公式和橢圓的定義可得4a=8，再由a，b，c的關(guān)系，解得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）設(shè)P（4，y₀）（y₀≠0），又M（-2，0），則K_MP=$\frac{{y}_{0}}{6}$，得到直線MP的方程，代入橢圓方程求出M的坐標(biāo)，同理可得R的坐標(biāo)，求出K_QR，推出直線QR的方程為y=k_QR（x-x_Q）+y_Q，利用直線系求解即可得到定點的坐標(biāo)．

解答 解：（1）e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²-b²=c²，
由橢圓的定義可得，|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，
即有△ABF₁的周長為4a=8，
解得a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）設(shè)P（4，y₀）（y₀≠0），
又M（-2，0），則K_MP=$\frac{{y}_{0}}{6}$，
故直線MP的方程為：y=$\frac{{y}_{0}}{6}$（x+2），
代入橢圓方程并整理得：（1+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{18}$）x²+$\frac{2}{9}$y₀²x+$\frac{2}{9}$y₀²-4=0，
由韋達定理：-2x_Q=$\frac{4{{y}_{0}}^{2}-72}{18+{{y}_{0}}^{2}}$，
可得x_Q=$\frac{36-2{{y}_{0}}^{2}}{18+{{y}_{0}}^{2}}$，y_Q=$\frac{12{y}_{0}}{18+{{y}_{0}}^{2}}$，
同理可解得：x_R=$\frac{2{{y}_{0}}^{2}-4}{2+{{y}_{0}}^{2}}$，y_R=$\frac{-4{y}_{0}}{2+{{y}_{0}}^{2}}$，
∴k_QR=$\frac{{y}_{R}-{y}_{Q}}{{x}_{R}-{x}_{Q}}$=$\frac{4{y}_{0}}{6-{{y}_{0}}^{2}}$，
故直線QR的方程為y=k_QR（x-x_Q）+y_Q，
即（6-y₀²）y-4y₀（x-1）=0，
∴直線QR恒過定點（1，0）．

點評 本題考查直線與橢圓方程的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，考查分析問題解決問題的能力，屬于難題．