Question

設點F₁是橢圓的左焦點，弦AB過橢圓的右焦點，求△F₁AB的面積的最大值．

Answer 1

解：如圖，
設A(x₁,y₁)，B（x₂,y₂），
(∵c=1)．
設直線AB的方程為x=my+1，代入橢圓方程，得（2m²+3）y²+4my-4=0．
，

從而
令

∵，當且僅當時，等號成立，
又∵t≥1，
∴的最小值取不到
考察f(t)=2t+在[1，+∞）上的單調(diào)性，利用單調(diào)性定義可以證明f(t)=2t+在[1，+∞）上單調(diào)遞增，因此f(t）=的最小值為f(1)=3．
從而的最大值為，
此時t=1，即m=0．
∴△F₁AB的面積的最大值為，此時直線AB的方程為x=1.