Question

【題目】【2018廣東深圳市高三一模】已知橢圓的離心率為，直線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)．

（I）求橢圓的方程和點(diǎn)的坐標(biāo)；

（II） 為坐標(biāo)原點(diǎn)，與平行的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)， ，求的面積最大時(shí)直線的方程．

Answer 1

【答案】（I）橢圓的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（II）或．

【解析】試題分析：(1) 根據(jù)橢圓的離心率為，直線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得結(jié)果；(2) 設(shè)直線的方程為，設(shè)， ，聯(lián)立消去，利用韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)到直線距離公式與三角形面積公式可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.

試題解析：(1)由，得，故.

則橢圓的方程為.

由，消去，得.①

由，得.

故橢圓的方程為.

所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；

(2)設(shè)直線的方程為，

設(shè)， ，聯(lián)立消去，得，

則有，

由，得，

.

設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為.

則.

所以.

所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)， 的面積最大.

所以直線的方程為或.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和數(shù)量積公式，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.