Question

20．已知f（x）=x+$\frac{1}{x}$
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）用函數(shù)單調(diào)性定義證明：f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，運(yùn)用作差法證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）=f（x）=x+$\frac{1}{x}$，
所以，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）
且f（-x）=（-x）+$\frac{1}{-x}$=-（x+$\frac{1}{x}$），
所以，f（-x）=-f（x），
即f（x）為奇函數(shù)；
（2）任取x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）+（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x₂-x₁）•$\frac{1-{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
因?yàn)閤₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，所以，x₁x₂∈（0，1），
所以，f（x₁）-f（x₂）＞0恒成立，
即f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，應(yīng)用了單調(diào)性和奇偶性的定義及作差法，屬于基礎(chǔ)題．