Question

已知實數(shù)a、b、c、d滿足a＋b＝7，c＋d＝5，求(a＋c)²＋(b＋d)²的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

評析：“一正數(shù)，二定值，三相等”是用均值定理求最值的重要條件，特別是理解“定值”與“相等”之間的邏輯關(guān)系，下面我們看一個錯誤的解法： 　　(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋2ac＋b2＋d2＋2bd 　�。�(a2＋d2)＋(b2＋c2)＋2ac＋2bd≥2ad＋2bc＋2ac＋2bd 　�。�2(a＋b)(c＋d)＝70 　　當且僅當a＝d且b＝c時取等號． 　　以上解法其錯誤原因在于：兩次用不等式求最值時，等號要同時取到，若a＝d且b＝c，則a＋b＝c＋d，與已知a＋b＝7，c＋d＝5矛盾．不可能同時有a＝d且b＝c．因此應(yīng)用不等式求最值要注意其條件，特別是“能否相等”，盡量減少確定“等號”成立的次數(shù)．