Question

18．求函數y=cos²x+asinx+$\frac{5}{8}$a+1（0≤x≤$\frac{π}{2}$）的最大值．

Answer 1

分析 根據二倍角公式整理所給的函數式，得到關于正弦的二次函數，
根據所給角x的范圍，得到二次函數的定義域，
根據對稱軸與所給定義域之間的關系，分類求得函數的最大值．

解答 解：函數y=f（x）=cos²x+asinx+$\frac{5}{8}$a+1
=1-sin²x+asinx+$\frac{5}{8}$a+1
=-${（sinx-\frac{a}{2}）}^{2}$+$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{5}{8}$a+2；
∵函數f（x）的定義域為[0，$\frac{π}{2}$]，
∴sinx∈[0，1]，
∴當0≤$\frac{a}{2}$≤1，即0≤a≤2時，f（x）的最大值是
f（x）_max=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{5}{8}$a+2；
當$\frac{a}{2}$＜0，即a＜0時，f（x）在sinx=0時取得最大值是
f（x）_max=f（0）=$\frac{5}{8}$a+2；
當$\frac{a}{2}$＞1，即a＞2時，f（x）在sinx=1取得最大值是
f（x）_max=f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{13}{8}$a+1；
綜上可知：a＜0時，f（x）_max=$\frac{5}{8}$a+1；
0≤a≤2時，f（x）_max=$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{5}{8}$a+2；
a＞2時，f（x）_max=$\frac{13}{8}$a+1．

點評 本題考查了二次函數在閉區(qū)間上的最值及三角函數變化整理的應用問題，解題的關鍵是對二次函數的對稱軸討論，是中檔題．