Question

【題目】已知橢圓方程為，其右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，過(guò)且垂直于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線(xiàn)l與(1)中橢圓相交于,兩點(diǎn), 直線(xiàn), ,的斜率分別為,, (其中)，且,,成等比數(shù)列；設(shè)的面積為, 以、為直徑的圓的面積分別為, , 求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

(1)由題意可得，，即得，結(jié)合可得橢圓方程；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，寫(xiě)出韋達(dá)定理，由，，成等比數(shù)列，可解得k值，然后分別求出S,,寫(xiě)出的表達(dá)式，利用基本不等式可得取值范圍.

（1）由拋物線(xiàn)方程得，橢圓方程為，過(guò)F垂直于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的直線(xiàn)與橢圓交于M,N兩點(diǎn)，可得，與拋物線(xiàn)交于C,D兩點(diǎn)可得， ， ， ，

所以橢圓方程為 .

(2)設(shè)直線(xiàn)的方程為，

由可得 ，

由韋達(dá)定理：，

∵，，構(gòu)成等比數(shù)列， ，

即

由韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)得：，∵ ，．

此時(shí)，即．

又由三點(diǎn)不共線(xiàn)得，從而．

故

∵，，，

則

為定值．

，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立．

綜上：的取值范圍是．