Question

【題目】直線與曲線有且只有一個交點，則b的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

由曲線方程的特點得到此曲線表示在y軸右邊的單位圓的一半，可得出圓心坐標和圓的半徑r，然后根據(jù)題意畫出相應的圖形，根據(jù)圖形找出三個關鍵點：直線過（0，﹣1）；直線過（0，1）以及直線與圓相切且切點在第四象限，把（0，﹣1）與（0，1）代入直線y=x+b中求出相應的b值，根據(jù)圖形得到直線與曲線只有一個交點時b的范圍，再由直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關于b的方程，求出方程的解得到b的值，此時直線與曲線也只有一個交點，綜上，得到滿足題意的b的范圍．

由題意可知：曲線方程表示一個在y軸右邊的單位圓的一半，

則圓心坐標為（0，0），圓的半徑r=1，

畫出相應的圖形，如圖所示：

∵當直線y=x+b過（0，﹣1）時，把（0，﹣1）代入直線方程得：b=﹣1，

當直線y=x+b過（0，1）時，把（0，1）代入直線方程得：b=1，

∴當﹣1＜b≤1時，直線y=x+b與半圓只有一個交點時，

又直線y=x+b與半圓相切時，圓心到直線的距離d=r，即=1，

解得：b=（舍去）或b=﹣，

綜上，直線與曲線只有一個交點時，b的取值范圍為﹣1＜b≤1或b=﹣．

故選：C．