Question

如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，點E是PD的中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥PB；
（Ⅱ）求證：PB∥平面AEC；
（Ⅲ）若PA=4，求點E到平面ABCD的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用線面垂直的性質(zhì)及判定定理，即可證明AC⊥平面PAB，從而可得AC⊥PB；
（2）連結(jié)BD，與AC相交于O，連結(jié)EO，證明PB∥EO，即可證明PB∥平面AEC；
（3）取AD中點F，連接EF．證明EF⊥平面ABCD，所以線段EF的長度就是點E到平面ABCD的距離．

解答： （Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD，AC在平面ABCD內(nèi)，∴AC⊥PA，
又AC⊥AB，PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB．（2分）
又PB在平面PAB內(nèi)，∴AC⊥PB；
（Ⅱ）證明：連結(jié)BD，與AC相交于O，連結(jié)EO，
∵ABCD是平行四邊形，∴O是BD的中點，
又E為PD中點，∴PB∥EO，
又PB在平面AEC外，EO在AEC平面內(nèi)，
∴PB∥平面AEC；
（Ⅲ）解：取AD中點F，連接EF．
因為點E是PD的中點，所以EF∥PA．
又因為PA⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD．
所以線段EF的長度就是點E到平面ABCD的距離．
又因為PA=4，所以EF=2．
所以點E到平面ABCD的距離為2．

點評：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面平行，考查點E到平面ABCD的距離，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．