Question

【題目】（本小題滿分12分）我們把一系列向量按次序排成一列，稱之為向量列，記作，已知向量列滿足：，．

（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）設(shè)表示向量與間的夾角，若，對于任意正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍

（3）設(shè)，問數(shù)列中是否存在最小項(xiàng)？若存在，求出最小項(xiàng)；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在最小項(xiàng)，最小項(xiàng)是

【解析】

試題分析：第一問利用等比數(shù)列的定義證明，第二問只需證明不等式左邊的最小值大于a（a+2）,接下來研究左邊和式的單調(diào)性，最后轉(zhuǎn)化為求解，第三問假設(shè)存在第n項(xiàng)最小滿足，求解關(guān)于n的不等式得第5項(xiàng)最小．

試題解析：（1）∵ ，

∴ ，

∴數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）∵ ，∴ ， ，

不等式化為：對任意正整數(shù)恒成立．

設(shè)．

又 ，

∴ 數(shù)列單調(diào)遞增，，

要使不等式恒成立，只要， ，得

∴ 使不等式對于任意正整數(shù)恒成立的的取值范圍是．

（3）∵，∴ ，

假設(shè)中的第 項(xiàng)最小，由 ，，∴，

當(dāng)時(shí)，有，由可得，即，∴ ，，或（舍），

∴ ，即有，

由，得， 又，∴ ；

故數(shù)列中存在最小項(xiàng)，最小項(xiàng)是