Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）、g（x）滿足

f(x)

g(x)

=a^x，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，若有窮數(shù)列{

f(n)

g(n)

}（n∈N^*）的前n項和為

127

128

，則n=（　　）

• A、4
• B、5
• C、6
• D、7

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)的運算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，求出a的取值范圍，再由

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，即可得到a的值，然后利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：由于[

f(x)

g(x)

]′=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

＜0，
故函數(shù)

f(x)

g(x)

=ax單調(diào)遞減，所以0＜a＜1．
又

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，即a+a-1=

5

2

，解得a=

1

2

或a=2（舍）．
所以

f(x)

g(x)

=(

1

2

)x，
故{

f(n)

g(n)

}(n∈N*)是首項為

f(1)

g(1)

=

1

2

，公比q=

1

2

，
所以前n項和為

1 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=1-(

1

2

)n，
由1-(

1

2

)n=

127

128

得n=7．
故選：D．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，等比數(shù)列的前n項和公式的計算，考查學(xué)生的計算能力．