Question

如圖，在各棱長都相等的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F(xiàn)分別為AB，CC₁的中點．
（Ⅰ）求證：CE∥平面AB₁F；
（Ⅱ）求直線A₁F與平面AB₁F所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）利用三棱柱的性質(zhì)連接A₁B交AB₁于D點，連接DE，DF得到四邊形DECF為平行四邊形，利用線面平行的判定定理可證；
（Ⅱ）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁各棱長都相等，E為AB的中點得到CE⊥A₁B，由（Ⅰ） CE∥DF得DF⊥A₁B，
所以A₁D⊥平面AB₁F，得到∠A₁FD是A₁F與平面AB₁F所成的角，然后解Rt△A₁DF即可．

解答： 證明：（Ⅰ）如圖示，連接A₁B交AB₁于D點，連接DE，DF
由題DE是△ABB₁的中位線
∴DE∥BB₁且DE=

1

2

BB1
即DE∥CF且DE=CF
∴四邊形DECF為平行四邊形
∴CE∥DF
又CE?平面AB₁F，DF?平面AB₁F
∴CE∥平面AB₁F…6分
解：（Ⅱ）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁各棱長都相等，E為AB的中點
∴CE⊥AB，CE⊥AA₁
∴CE⊥平面ABB₁A₁，又A₁B?平面ABB₁A₁
∴CE⊥A₁B
由（Ⅰ） CE∥DF得DF⊥A₁B
又A₁D⊥AB₁，DF，AB₁是平面AB₁F內(nèi)兩條相交直線
∴A₁D⊥平面AB₁F
∴DF是A₁F在平面AB₁F上的射影
∴∠A₁FD是A₁F與平面AB₁F所成的角  …9分
設(shè)直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長為a
在Rt△A₁DF中，AD=

2

2

a，AF=

AC2+CF2

=

5

2

a，
∴sin∠A_FD=

A_D

A_F

=

10

5

∴直線A₁F與平面AB₁F所成角的正弦值是

10

5

…12分．

點評：本題考查了三棱柱性質(zhì)的運用以及線面平行的判定、線面角的求法，屬于中檔題．