Question

如圖，圓錐SO中，AB、CD為底面圓的兩條直徑，AB交CD于O，且AB⊥CD，SO=OB=2，P為SB的中點．
（1）求證：SA∥平面PCD；
（2）求圓錐SO的表面積；求圓錐SO的體積．
（3）求異面直線SA與PD所成角的正切值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)PO，由三角形中位線定理得PO∥SA，由此能證明SA∥平面PCD．
（2）由r=2，母線l=SB=2

2

，由圓錐SO的表面積S_表=S_側(cè)+S_底，圓錐SO的體積V=

1

3

S底×SO，由此能求出結(jié)果．
（3）由PO∥SA，得∠DPO為異面直線SA與PD所成角，由此能求出異面直線SA與PD所成角的正切值．

解答： （1）證明：連結(jié)PO，…（1分）
∵P、O分別為SB、AB的中點，∴PO∥SA，…（2分）
PO?平面PCD，SA不包含于平面PCD，
∴SA∥平面PCD．…（4分）（表述缺漏扣1分）
（2）解：r=2，母線l=SB=2

2

，…（5分），
S_側(cè)=πrl=4

2

π，…（6分）
∴圓錐SO的表面積S_表=S_側(cè)+S_底=4

2

π+π•2²=4（

2

+1）π，
圓錐SO的體積V=

1

3

S底×SO=

1

3

×4π×

(2 2 )2-22

=

8π

3

．…（8分）
（3）解：∵PO∥SA，∴∠DPO為異面直線SA與PD所成角．…（9分）
∵CD⊥AB，CD⊥SO，AB∩SO=O，∴CD⊥平面SOB，…（10分）
∴OD⊥PO．在Rt△DOP中，OD=2，OP=

1

2

SB=

2

，…（11分）
∴tan∠DPO=

OD

OP

=

2

2

=

2

，
∴異面直線SA與PD所成角的正切值為

2

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查圓錐的表面積和體積的求法，考查異面直線所成角的正切值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．