【題目】如圖，有一塊三棱錐形木塊
，各面均是銳角三角形，其中面
內(nèi)有一點
.
（1）若要在面內(nèi)過點畫一條線段
，其中點
在線段
上，點
在線段
上，且滿足與
垂直，該如何求作？請在圖中畫出線段并說明畫法，不必證明；
（2）經(jīng)測量，
，
，
，
，若恰為三角形的重心，為（1）中所求線段，求三棱錐
的體積.
【答案】（1）作圖詳見解析；（2）
.
【解析】
（1）先在
上任取一點
，分別在平面
和平面
內(nèi)作的垂線分交
、
于點
、
，可得出
平面
，進而得出
，然后分兩種情況討論，
和
，即可作出
；
（2）先證明出
，根據(jù)重心的性質(zhì)得出三棱錐
的體積為三棱錐
體積的
，利用余弦定理計算出、
，進而計算出
的面積，由此可計算出三棱錐的體積，進而得出三棱錐的體積.
（1）如圖，在上任取一點；
過點在平面內(nèi)作的垂線，交于；
過點在平面內(nèi)作的垂線，交于.
連接
，若過點
，則就是所求線段；
若不過點，則過點作的平行線，與、相交即得線段.
（2）取
中點
，連
、
，
因為為三角形
的重心，故在上，且
.
由題意知，
，
，
，故
平面
，
平面，
，
又
，與共面，于是，
，
故三棱錐的體積為三棱錐體積的.
，
，則
為等邊三角形，
，
，
在
中，由余弦定理得
，
整理得
，解得
或
.
若，此時為等腰三角形，
，
，合乎題意；
若，則
，
為鈍角，不合乎題意.
同理可得
，
，
在中，
，
，
，由余弦定理得
，
，
，
故
.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】定義在
上的偶函數(shù)
滿足
，且
，當
時，
.已知方程
在區(qū)間
上所有的實數(shù)根之和為
.將函數(shù)
的圖象向右平移
個單位長度，得到函數(shù)
的圖象，則
__________，
__________.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩人投籃命中的概率分別為
與
，各自相互獨立.現(xiàn)兩人做投籃游戲，共比賽3局，每局每人各投一球.
（1）求比賽結(jié)束后甲的進球數(shù)比乙的進球數(shù)多1的概率；
（2）設
表示比賽結(jié)束后甲、乙兩人進球數(shù)的差的絕對值，求的概率分布和數(shù)學期望
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如圖所示的6個點A、B、C、A1、、B1、C1上各裝一個燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法共有 種（用數(shù)字作答）.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】一個三位數(shù)：個位、十位、百位上的數(shù)字依次為
，
，
，當且僅當
，
時，稱這樣的數(shù)為“凸數(shù)”（如243），現(xiàn)從集合
中取出三個不同的數(shù)組成一個三位數(shù)，則這個三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知射線l：θ＝
與曲線C：
（t為參數(shù)）相交于A，B兩點.
（1）寫出射線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）求線段AB中點的極坐標.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】揚州大學數(shù)學系有6名大學生要去甲、乙兩所中學實習，每名大學生都被隨機分配到兩所中學的其中一所.
（1）求6名大學生中至少有1名被分配到甲學校實習的概率；
（2）設
，
分別表示分配到甲、乙兩所中學的大學生人數(shù)，記
，求隨機變量
的分布列和數(shù)學期望.
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