Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點為、.

（1）求以為焦點，原點為頂點的拋物線方程；

（2）若橢圓上點滿足，求的縱坐標；

（3）設，若橢圓上存在兩個不同點、滿足，證明：直線過定點，并求該定點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）直線過定點.

【解析】

(1)由橢圓方程可求出左焦點的坐標,由此可求出拋物線的方程;

(2)根據橢圓定義以及余弦定理可求出,再根據面積關系列式可求得結果;

(3)聯立直線,與拋物線方程,消去得到關于的一元二次方程,根據韋達定理得到兩根之和與兩根之積,再根據向量相乘為0列式可解得,從而可得.

(1)在橢圓中,,,所以,

所以,所以,

所以在拋物線中,所以,

所以以為焦點，原點為頂點的拋物線方程為:,即.

(2)設,,,

在三角形中,,

由余弦定理得:,

所以得,

得,又,

所以,

所以,

即,

解得:,所以;

(3)直線的斜率顯然存在,設直線的方程為:,

聯立 ,消去并整理得:,

設,,

則,即,

,,

因為,

所以,

所以,

所以,

所以,

化簡得:,

因為,所以,

所以直線 :過定點.