Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+2）+f（x）=0，且函數(shù)f（x+1）為奇函數(shù)，對(duì)于下列命題：
①函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=f（x）；
②函數(shù)f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱；
③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；
④函數(shù)f（x）的最大值為f（2）；
⑤f（2009）=0．
其中正確的序號(hào)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①利用函數(shù)的定義判斷．②利用點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)判斷．③利用軸對(duì)稱去判斷．④利用函數(shù)的周期性和對(duì)稱性判斷．⑤利用周期性和對(duì)稱性將f（2009）進(jìn)行轉(zhuǎn)換求值．

解答： 解：①對(duì)
因?yàn)閒（x+2）+f（x）=0
得f（x+2）=-f（x）
即f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x）
②對(duì)
函數(shù)f（x+1）為奇函數(shù)，即函數(shù)f（x）向左平移一個(gè)單位以后關(guān)于（0，0）對(duì)稱，
∴平移之前的圖象應(yīng)該關(guān)于（1，0）對(duì)稱，故②正確；
③對(duì)
由f（x+2）=-f（x）
得f（x+1+2）=-f（x+1）
又由f（-x+1）=-f（x+1）
知f（x+1+2）=f（-x+1）
即f（x+3）=f（-x+1）
故函數(shù)f（x）有對(duì)稱軸x=2
即f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱
④不對(duì)
對(duì)于f（x+2）+f（x）=0，因?yàn)槭?U>奇函數(shù)，
所以f（0）=0，也就是 f（2）=-f（0）=0，
因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)性沒(méi)有給出，所以無(wú)法確定函數(shù)的最大值，即④錯(cuò)誤．
⑤對(duì)
由①知
f（2009）
=f（502×4+1）
=f（1）
又由②知F（x）=f（x+1）
令x=0，則F（0）=f（0+1）=0
即f（1）=0
即f（2009）=0

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和周期性的應(yīng)用，還考查了函數(shù)的對(duì)稱及與圖象的平移變換，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．