Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：yx﹣3經(jīng)過(guò)橢圓1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn)（0，b）到直線l的距離為2．

（1）求橢圓E的方程；

（2）A、B、C是橢圓E上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且|CA|＝|CB|，求△ABC面積的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（2），

【解析】

（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出橢圓的方程；

（2）聯(lián)立過(guò)直線與橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式可求出，由對(duì)稱(chēng)性可知，，可得到面積與直線斜率的關(guān)系，即可得出答案．

（1）由題可知，，即 ①

又點(diǎn)到直線的距離為，

則有，

解得 ②

由①②得，

故橢圓的方程為：

（2）由題可設(shè)過(guò)，，，兩點(diǎn)的直線方程為：，

解方程組，

可得

則有，

如圖，

延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，同理可得，．

，

．

由圖形對(duì)稱(chēng)性可知，．

令．則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．

故面積的最小值為，此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．