Question

【題目】如圖，四邊形是直角梯形， ，又，直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角為．

（1）求證： ；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析.（2）.

【解析】試題分析：方法1：（1）∵，∴平面ABC，∴．5分

（2）取BC的中點(diǎn)N，連MN．∵，∴，∴平面ABC．作

，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，連結(jié)MH．由三垂線(xiàn)定理得，∴為二面角的平面角．∵直線(xiàn)AM與直線(xiàn)PC所成的角為，∴在中， ．

在中， ．

在中， ．

在中， ．

在中，∵，∴．

故二面角的余弦值為．13分

方法2：（1）∵，∴平面ABC，∴．5分

（2）在平面ABC內(nèi)，過(guò)C作BC的垂線(xiàn)，并建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．設(shè)，則． ． 5分

∵，

且，∴，得，∴． 8分

設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量為，則由得得∴． 10分

平面ABC的一個(gè)法向量為． 12分

顯然，二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為．13分