Question

12．已知函數(shù)f（x）=x³+ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）滿足f（1+a）+1+ln（$\sqrt{2}$+1）＜0，若實數(shù)a的取值范圍是（-∞，b），則b=2．

Answer 1

分析 分析函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，可將f（1+a）+1+ln（$\sqrt{2}$+1）＜0，化為1＜-a-1，求出a的取值范圍后，可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x³+ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），
∴f（-x）+f（x）=-x³+ln（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+x³+ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=0，
即函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，
又∵y=x³和y=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）均為增函數(shù)，故函數(shù)f（x）=x³+ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）為增函數(shù)，
當x=1時，f（x）=x³+ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=1+ln（$\sqrt{2}$+1），
若f（1+a）+1+ln（$\sqrt{2}$+1）＜0，
則1+ln（$\sqrt{2}$+1）＜-f（1+a）=f（-a-1），
故1＜-a-1，
則a＜-2，
又由滿足條件的實數(shù)a的取值范圍是（-∞，b），則b=2，
故答案為：2

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．