Question

19．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D在邊BC上，AD⊥C₁D．
（1）求證：AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）如果點E是C₁B₁的中點，求證：A₁E∥平面ADC₁．

Answer 1

分析 （1）推導出AD⊥C₁D，從而CC₁⊥平面ABC，進而AD⊥CC₁，由此能證明AD⊥平面BCC₁B₁．
（2）由AD⊥BC，得D是BC中點，連結ED，得四邊形AA₁DE是平行四邊形，由此能證明A₁E∥平面ADC₁．

解答 證明：（1）∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D在邊BC上，AD⊥C₁D，
∴CC₁⊥平面ABC，又AD?平面ABC，
∴AD⊥CC₁，
又C₁D∩CC₁=C₁，∴AD⊥平面BCC₁B₁．
（2）∵AD⊥平面BCC₁B₁，∴AD⊥BC，
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=AC，∴D是BC中點，
連結ED，∵點E是C₁B₁的中點，
∴AA₁$\underset{∥}{=}$DE，∴四邊形AA₁DE是平行四邊形，
∴A₁E∥AD，
又A₁E?面ADC₁，AD?平面ADC₁．
∴A₁E∥平面ADC₁．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面平行的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．