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如圖，四面體中，、分別是、的中點，

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的正切值；
（Ⅲ）求點到平面的距離．
（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

試題分析：（1）由題意可知，為等腰三角形，是邊上的中線，所以，再由已知條件算出的三條邊長，由此根據(jù)勾股定理，可證,從而得證平面；（2）作于F，連AF，由（1）知， 故，所以 ,則 是二面角的平面角，利用平面幾何知識即可算出其正切值；（3）設點E到平面ACD的距離為因為,所以,從而求出．也可以點為原點，建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，利用利用空間向量方法，求解各個小題，詳見解析．
試題解析：（Ⅰ）證明：連結OC


在中，由已知可得而
即
平面
（Ⅱ）解： 作于F，連AF
由（1）知， 故 
 , 是二面角的平面角，
易知,.
即所求二面角的正切值為 
（Ⅲ）解：設點E到平面ACD的距離為


在中，

而

點E到平面ACD的距離為
方法二：（Ⅰ）同方法一.
（Ⅱ）解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則

（Ⅲ）解：設平面ACD的法向量為則


令得是平面ACD的一個法向量，又
點E到平面ACD的距離．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，，是棱上的一點，是的延長線與的延長線的交點，且∥平面。

(1)求證：；
(2)求二面角的平面角的余弦值；
(3)求點到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分14分）如圖，在四面體A?BCD中，AD^平面BCD，BC^CD，AD=2，BD=2．M是AD的中點.

（1）證明：平面ABC平面ADC；
（2）若ÐBDC=60°，求二面角C?BM?D的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐E—ABCD中，底面ABCD為邊長為5的正方形，AE平面CDE，AE=3.

(1)若為的中點，求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖,在三棱錐中,側面與底面垂直, 分別是的中點,,,.

(Ⅰ)求證：平面;
(Ⅱ)若點為線段的中點，求異面直線與所成角的正切值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的中點.

（1）若，求證：平面平面；
（2）點在線段上，，試確定的值，使平面.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱柱ABC—A1B1C1的側棱AA1⊥底面ABC，∠ACB = 90°，E是棱CC1上動點，F(xiàn)是AB中點，AC = 1，BC = 2，AA1 = 4.

（Ⅰ）當E是棱CC1中點時，求證：CF∥平面AEB1；
（Ⅱ）在棱CC1上是否存在點E，使得二面角A—EB1—B的余弦值是，若存在，求CE的長，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，直線平面，垂足為，直線是平面的一條斜線，斜足為，其中，過點的動直線交平面于點，，則下列說法正確的是___________．

①若，則動點B的軌跡是一個圓；
②若，則動點B的軌跡是一條直線；
③若，則動點B的軌跡是拋物線；
④，則動點B的軌跡是橢圓；
⑤，則動點B的軌跡是雙曲線．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設是三個互不重合的平面，是兩條不重合的直線，則下列命題中正確的是（   ）
A．若，則
B．若，，，則
C．若，，則
D．若，，，則

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