Question

【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)對年銷售量(單位：t)的影響.該公司對近5年的年宣傳費(fèi)和年銷售量數(shù)據(jù)進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)年宣傳費(fèi)x(萬元)和年銷售量y(單位：t)具有線性相關(guān)關(guān)系，并對數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計量的值.

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程；

(2)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為，根據(jù)(1)中的結(jié)果回答下列問題：

①當(dāng)年宣傳費(fèi)為10萬元時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少?

②估算該公司應(yīng)該投入多少宣傳費(fèi)，才能使得年利潤與年宣傳費(fèi)的比值最大.

附：回歸方程中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為

參考數(shù)據(jù)：.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）①銷售量為，年利潤2.25；②該公司應(yīng)該投入5萬元宣傳費(fèi)，才能使得年利潤與年宣傳費(fèi)的比值最大.

【解析】

（1）由題所給數(shù)據(jù)及參考公式，計算出回歸方程；

（2）將（1）所得回歸方程代入函數(shù)式得到年利潤與年宣傳費(fèi)之間的函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)知識分析。

（3）年利潤與年宣傳費(fèi)的比值為，求出的解析式，利用基本不等式求最值。

（1）由題意，，

（2）①由（1）得

當(dāng)時

即當(dāng)年宣傳費(fèi)為10萬元時，年銷售量為，年利潤的預(yù)報值為。

②令年利潤與年宣傳費(fèi)的比值為 則

當(dāng)且僅當(dāng)即時取最大值，故該公司應(yīng)該投入5萬元宣傳費(fèi)，才能使得年利潤與年宣傳費(fèi)的比值最大.