Question

如圖，在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點(diǎn)．

(1)證明AD⊥D₁F；

(2)求AE與D₁F所成的角；

(3)證明面AED⊥面A₁FD₁；

(4)設(shè)AA₁＝2，求三菱錐F－A₁ED₁的體積

Answer 1

答案：
解析：

本小題滿(mǎn)分15分 　　解法一：(1)∵AC1是正方體，∴AD⊥面DC1． 　　又D1F面DC1，∴AD⊥D1F． 　　(2)取AB中點(diǎn)G，連結(jié)A1G，F(xiàn)G． 　　因?yàn)镕是CD的中點(diǎn)，所以GF、AD平行且相等， 　　又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等， 　　故GFD1A1是平行四邊形，A1G∥D1F． 　　設(shè)A1G與AE相交于點(diǎn)H，則∠AHA1是AE與D1F所成的角， 　　因?yàn)镋是BB1的中點(diǎn)，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE， 　　∠GA1A＝∠GAH，從而∠AHA1＝90°，即直線(xiàn)AE與D1F所成角為直角． 　　(3)由(Ⅰ)知AD⊥D1F，由(Ⅱ)知AE⊥D1F， 　　又AD∩AE＝A，所以D1F⊥面AED． 　　又因?yàn)镈1F面A1FD1， 　　所以面AED⊥面A1FD1． 　　(4)連結(jié)GE，GD1．∵FG∥A1D1，∴FG∥面A1ED1， 　　∵AA1＝2，面積S△A1GE＝S□ABB1A1－2S△A1AG－S△GBE＝