Question

（2013•哈爾濱一模）函數(shù)f（x）=xsinx+cosx+x²，則不等式f（lnx）＜f（1）的解集為（　�。�

• A．（0，e）
• B．（1，e）
• C．(

  1

  e

  ，e)
• D．(

  1

  e

  ，e)∪(1，e)

Answer 1

分析：首先判斷函數(shù)為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)，在（-∞，0）上是減函數(shù)，所給的不等式等價(jià)于-1＜lnx＜1，解對(duì)數(shù)不等式求得x的范圍，即為所求．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=xsinx+cosx+x²，滿足f（-x）=-xsin（-x）+cos（-x）+（-x）²=xsinx+cosx+x²=f（x），
故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
由于f′（x）=sinx+xcosx-sinx+2x=x（2+cosx），
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，故函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，故函數(shù)在（-∞，0）上是減函數(shù)．
不等式f（lnx）＜f（1）等價(jià)于-1＜lnx＜1，∴

1

e

＜x＜e，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．