Question

如圖,在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中,E、F分別是BB₁、CD的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明AD⊥D₁F;

(Ⅱ)求AE與D₁F所成的角;

(Ⅲ)證明面AED⊥面A₁FD₁;

(Ⅳ)設(shè)求三棱錐的體積

Answer 1

解:(Ⅰ)∵AC₁是正方體,∴AD⊥面DC₁.又D₁F面DC₁,∴AD⊥D₁F.                    

                          

(Ⅱ)取AB中點(diǎn)G,連結(jié)A₁G,FG.因?yàn)镕是CD的中點(diǎn),所以GF、AD平行且相等,又A₁D₁、AD平行且相等,所以GF、A₁D₁平行且相等,故GFD₁A₁是平行四邊形,A₁G∥D₁F.

設(shè)A₁G與AE相交于點(diǎn)H,則∠AHA₁是AE與D₁F所成的角,因?yàn)镋是BB₁的中點(diǎn),所以Rt△A₁AG≌Rt△ABE,∠GA₁A=∠GAH，從而∠AHA₁=90°,即直線(xiàn)AE與D₁F所成角為直角.                     

(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D₁F,由(Ⅱ)知AE⊥D₁F,又AD∩AE=A,所以D₁F⊥面AED.又因?yàn)镈₁F 面A₁FD₁,所以面AED⊥面A₁FD₁-

 (Ⅳ)連結(jié)GE,GD₁.

∵FG∥A₁D₁,∴FG∥面A₁ED₁,

∴體積

∵∴面積

∴