Question

設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足＝2－，＝1，2，3，…．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列滿足＝1，且＝＋，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．

 

Answer 1

【答案】

（1）＝( n∈)（2）＝ (＝1，2，3，…)

（3）8－

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040208553954681688/SYS201304020856078750406757_DA.files/image006.png">＝1時(shí)，＋＝＋＝2，所以＝1．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040208553954681688/SYS201304020856078750406757_DA.files/image011.png">＝2－，即＋＝2，所以＋＝2．

兩式相減：－＋－＝0，即－＋＝0，故有＝．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040208553954681688/SYS201304020856078750406757_DA.files/image001.png">≠0，所以＝( n∈)．

所以數(shù)列是首項(xiàng)＝1，公比為的等比數(shù)列，

所以＝( ∈)．                                            ……5分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040208553954681688/SYS201304020856078750406757_DA.files/image018.png">＝＋( n＝1，2，3，…)，所以－＝．從而有

＝1，＝，＝，…，＝( ＝2，3，…)．

將這－1個(gè)等式相加，得

－＝1＋＋＋…＋＝＝2－．(＝2，3，…)．

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040208553954681688/SYS201304020856078750406757_DA.files/image025.png">＝1，所以＝3－( ＝2，3，…)．

經(jīng)檢驗(yàn)，對=1也成立，

故＝3－ = (＝1，2，3，…)．                        ……10分

（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040208553954681688/SYS201304020856078750406757_DA.files/image028.png">＝，

所以＝．   ①

＝．       ②

①－②，得＝－． 

故＝－＝8－－＝8－( n＝1，2，3，…)．

……15分

考點(diǎn)：本小題主要考查由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)的和，考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和靈活應(yīng)用能力以及運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評：一般解數(shù)列的解答題時(shí)會(huì)給出一個(gè)遞推關(guān)系式，此時(shí)一般情況下會(huì)再寫一個(gè)作差，寫的時(shí)候要特別注意首項(xiàng)是否能取到，另外錯(cuò)位相減法求和是高考中常考的內(nèi)容，要多加練習(xí).