Question

命題P：函數(shù)y=（a²-4a）x為減函數(shù)；命題Q：關于x的方程x²-x+a=0有實數(shù)根．若P和Q有且只有一個為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性與一次項系數(shù)的關系，可求出命題P為真時實數(shù)a的取值范圍，根據(jù)二次方程根的個數(shù)與判別式的關系，可求出命題Q為真時實數(shù)a的取值范圍，進而結(jié)合P和Q有且只有一個為真命題，分類討論后，綜合討論結(jié)果可得答案．

解答：解：若函數(shù)y=（a²-4a）x為減函數(shù)
則a²-4a＜0
解得：0＜a＜4
即命題P為真時：0＜a＜4
若關于x的方程x²-x+a=0有實數(shù)根
則1-4a≥0
解得：a≤

1

4

即命題Q為真時：a≤

1

4

∵P和Q有且只有一個為真命題
當p真q假時，

1

4

＜a＜4
當p假q真時，a≤0
綜上實數(shù)a的取值范圍為（-∞，0]∪（

1

4

，4）

點評：本題以復合命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)的單調(diào)性及二次方程根的個數(shù)與判別式的關系，難度不大，屬于基礎題．