Question

已知函數(shù)f（x）=

xlnx，x＞a -x2+2x-3，x≤a

，其中a≥0．
（Ⅰ）當a=0時，求函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）如果對于任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：綜合題,函數(shù)的性質及應用

分析：（Ⅰ）當a=0時，求導函數(shù)，確定切線的斜率，求出切點的坐標，即可得到切線方程；
（Ⅱ）先考察函數(shù)g（x）=-x²+2x-3，x∈R的圖象，得到a≤1；考察函數(shù)h（x）=xlnx，x∈（0，+∞）的圖象，從而確定a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，得f'（x）=（xlnx）'=lnx+1，其中x＞0，…（2分）
所以 f'（1）=1，
又因為f（1）=0，
所以函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y=x-1．…（4分）
（Ⅱ）先考察函數(shù)g（x）=-x²+2x-3，x∈R的圖象，
配方得g（x）=-（x-1）²-2，…（5分）
所以函數(shù)g（x）在（-∞，1）上單調遞增，在（1，+∞）單調遞減，且g（x）_max=g（1）=-2．…（6分）
因為對于任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂）成立，
所以a≤1．…（8分）
以下考察函數(shù)h（x）=xlnx，x∈（0，+∞）的圖象，
則 h'（x）=lnx+1，
令h'（x）=lnx+1=0，解得x=

1

e

．…（9分）
隨著x變化時，h（x）和h'（x）的變化情況如下：

x	(0，  1 e )	1 e	( 1 e ， +∞)
h'（x）	-	0	+
h（x）	↘		↗

即函數(shù)h（x）在(0， 

1

e

)上單調遞減，在(

1

e

， +∞)上單調遞增，且h(x)min=h(

1

e

)=-

1

e

．…（11分）
因為對于任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂）成立，
所以 a≥

1

e

．…（12分）
因為-

1

e

＞-2（即h（x）_min＞g（x）_max），
所以a的取值范圍為[

1

e

，1]．…（13分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調性，考查學生的計算能力，屬于中檔題．