Question

10．函數(shù)y=$\frac{\sqrt{3-ax}}{a-1}$（a≠1）在區(qū)間（0，1]是減函數(shù)，則a的取值范圍是（-∞，0）∪（1，3]．

Answer 1

分析 先求導(dǎo)數(shù)$y′=\frac{-a}{2（a-1）\sqrt{3-ax}}$，根據(jù)題意便可得到$\frac{-a}{a-1}＜0$，從而解出a＜0，或a＞1①，還需滿足3-ax≥0在x∈（0，1]上恒成立，這樣便得到$a≤\frac{3}{x}$在x∈（0，1]上恒成立，從而得出a≤3②，這樣由①②便可得出a的取值范圍．

解答 解：$y′=\frac{-a}{2（a-1）\sqrt{3-ax}}$；
原函數(shù)在（0，1]上是減函數(shù)；
∴y′＜0；
∴$\frac{-a}{a-1}＜0$；
解得a＜0，或a＞1；
且3-ax≥0在x∈（0，1]上恒成立；
即$a≤\frac{3}{x}$在x∈（0，1]上恒成立；
$y=\frac{3}{x}$在（0，1]上的最小值為3；
∴a≤3，又a＜0，或a＞1；
∴a＜0，或1＜a≤3；
∴a的取值范圍為（-∞，0）∪（1，3]．
故答案為：（-∞，0）∪（1，3]．

點評 考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系，分式不等式的解法，以及反比例函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值．