Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為4，其長軸長和短軸長之比為

3

：1．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)F為橢圓C的右焦點，T為直線x=t（t∈R，t≠2）上縱坐標(biāo)不為0的任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q．
（�。┤鬙T平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點），求t的值；
（ⅱ）在（ⅰ）的條件下，當(dāng)

|TF|

|PQ|

最小時，求點T的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知可得

2c=2 a2-b2 =4 a= 3 b

，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）（�。┰O(shè)直線PQ的方程為x=my+2．將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得（m²+3）y²+4my-2=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、中點坐標(biāo)公式，結(jié)合已知條件能求出t=3．
（ⅱ）T點的坐標(biāo)為（3，-m）．|TF|=

m2+1

，|PQ|=

24 (m2+1)

m2+3

．由此能求出當(dāng)

|TF|

|PQ|

最小時，T點的坐標(biāo)是（3，1）或（3，-1）．

解答： 解：（Ⅰ）由已知可得

2c=2 a2-b2 =4 a= 3 b

，
解得a²=6，b²=2．
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

6

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F(xiàn)點的坐標(biāo)為（2，0）．
由題意知直線PQ的斜率存在且不為0，
設(shè)直線PQ的方程為x=my+2．
將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，
得

x=my+2 x2 6 + y2 2 =1.

消去x，得（m²+3）y²+4my-2=0，
其判別式△=16m²+8（m²+3）＞0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則y1+y2=

-4m

m2+3

，y1y2=

-2

m2+3

．
于是x1+x2=m(y1+y2)+4=

12

m2+3

．
設(shè)M為PQ的中點，則M點的坐標(biāo)為(

6

m2+3

，

-2m

m2+3

)．
因為TF⊥PQ，所以直線FT的斜率為-m，其方程為y=-m（x-2）．
當(dāng)x=t時，y=-m（t-2），所以點T的坐標(biāo)為（t，-m（t-2）），
此時直線OT的斜率為

-m(t-2)

t

，其方程為y=

m(2-t)

t

x．
將M點的坐標(biāo)為(

6

m2+3

，

-2m

m2+3

)代入y=

m(2-t)

t

x，
得

-2m

m2+3

=

m(2-t)

t

•

6

m2+3

．解得t=3．
（ⅱ）由（�。┲猅點的坐標(biāo)為（3，-m）．
于是|TF|=

m2+1

，
|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

[m(y1-y2)]2+(y1-y2)2

=

(m2+1)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(m2+1)[( -4m m2+3 )2-4 -2 m2+3 ]

=

(m2+1)[( -4m m2+3 )2-4 -2 m2+3 ]

=

24 (m2+1)

m2+3

．
所以

|TF|

|PQ|

=

m2+1

•

m2+3

24 (m2+1)

=

1

24

•

(m2+3)2 m2+1

=

1

24

•

(m2+3)2 m2+1

=

1

24

•

(m2+1)2+4(m2+1)+4 m2+1

=

1

24

•

m2+1+ 4 m2+1 +4

≥

1

24

•

2 4 +4

=

3

3

．
當(dāng)且僅當(dāng)m2+1=

4

m2+1

，即m=±1時，等號成立，
此時

|TF|

|PQ|

取得最小值

3

3

．
故當(dāng)

|TF|

|PQ|

最小時，T點的坐標(biāo)是（3，1）或（3，-1）．

點評：本題考查橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)值的求法，查滿足條件的點的坐標(biāo)的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、中點坐標(biāo)公式、弦長公式的合理運用．