Question

使函數(shù)f(x)=sin(2x+θ)+

3

cos(2x+θ)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足對(duì)于[0，

π

4

]內(nèi)任意兩個(gè)數(shù)x₁，x₂，恒有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0的θ的一個(gè)取值可以是（　�。�

• A．

  π

  3

• B．

  5π

  3

• C．

  4π

  3

• D．

  2π

  3

Answer 1

分析：函數(shù)f（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，滿足f（0）=0，算出tanθ=-

3

，得θ=

2π

3

+kπ（k∈Z）．再根據(jù)函數(shù)f（x）區(qū)間[0，

π

4

]內(nèi)恒有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，得函數(shù)f（x）為減函數(shù)，利用輔助角公式并結(jié)合函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)討論f（x）的單調(diào)減區(qū)間，即可得到取k=0，得θ=

2π

3

時(shí)滿足題設(shè)的兩個(gè)條件．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=sin(2x+θ)+

3

cos(2x+θ)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，滿足f（0）=sinθ+

3

cosθ=0，
得tanθ=-

3

，θ=

2π

3

+kπ，k∈Z
∵f(x)=sin(2x+θ)+

3

cos(2x+θ)=2sin（2x+θ+

π

3

）
滿足在區(qū)間[0，

π

4

]內(nèi)恒有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，即函數(shù)為減函數(shù)
∴θ+

π

3

≤2x+θ+

π

3

≤θ+

5π

6

，
令t=2x+θ+

π

3

，得集合M={t|θ+

π

3

≤t≤θ+

5π

6

}，且M?[

π

2

+2mπ，

3π

2

+2mπ]，m∈Z．
由此可得：取k=m=0，得θ=

2π

3

，M=[π，

3π

2

}滿足題設(shè)的兩個(gè)條件
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并且在已知一個(gè)單調(diào)減區(qū)間的情況下求參數(shù)的值，著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變形和函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)，屬于中檔題．