Question

設(shè)f（x）=x³，等差數(shù)列{a_n}中a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，記=，令b_n=a_nS_n，數(shù)列的前n項(xiàng)和為T_n
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式和S_n；
（2）求證：；
（3）是否存在正整數(shù)m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，
由,.解得，=3 ，
∴
∵，   ∴Sn==.
（2）
∴  
∴
（3）由(2)知，  
  ∴，，
∵成等比數(shù)列.
∴       即
當(dāng)時(shí)，7，=1，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，=16，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解；
當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解；
當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解；
當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解；
當(dāng)時(shí)， ，則，而，所以，此時(shí)不存在正整數(shù)m,n,且1<m<n,使得成等比數(shù)列.
綜上，存在正整數(shù)m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比數(shù)列.
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