Question

已知橢圓：的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)相切．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)，、是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn)，求直線(xiàn)的斜率的取值范圍；
(3)在(2)的條件下，證明直線(xiàn)與軸相交于定點(diǎn)．

Answer 1

⑴⑵或．⑶利用韋達(dá)定理及坐標(biāo)運(yùn)算即可證明

解析試題分析：⑴由題意知，所以，即，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7a/9/15c1w3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，故橢圓的方程為：．   4分
⑵由題意知直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為 ①
聯(lián)立消去得：，       6分
由得，        7分
又不合題意，
所以直線(xiàn)的斜率的取值范圍是或．      9分
⑶設(shè)點(diǎn)，則，直線(xiàn)的方程為
令，得，將代入整理，得．    ②           12分
由得①代入②整理，得，
所以直線(xiàn)與軸相交于定點(diǎn)．        14分
考點(diǎn)：本題考查了橢圓及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng)：橢圓的概念和性質(zhì)，仍將是今后命題的熱點(diǎn)，定值、最值、范圍問(wèn)題將有所加強(qiáng)；利用直線(xiàn)、弦長(zhǎng)、圓錐曲線(xiàn)三者的關(guān)系組成的各類(lèi)試題是解析幾何中長(zhǎng)盛不衰的主題，其中求解與相交弦有關(guān)的綜合題仍是今后命題的重點(diǎn)；與其它知識(shí)的交匯(如向量、不等式)命題將是今后高考命題的一個(gè)新的重點(diǎn)、熱點(diǎn).