Question

【題目】如圖，將邊長為6的等邊三角形各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正三棱柱形的容器．

（1）若這個容器的底面邊長為，容積為，寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式并注明定義域；

（2）求這個容器容積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4.

【解析】

（1）根據(jù)已知中箱子的制作方法，由正三棱柱的底面邊長為x, 可得正三棱柱的高以及底面積，由 ，可求出容積V（x）的解析式；（2）先求容積的導(dǎo)函數(shù)，分析單調(diào)性，可得到函數(shù)在 上的極大值點(diǎn)，代入解析式可得最大值．

（1） 由正三棱柱的底面邊長為x，可得正三棱柱的高為 ．

所以容積 ，即 ．

（2） 由 ，可得 ，

則 ．

令 ，得 ；令 ，得 ．

所以函數(shù) 在 (0,4) 上是增函數(shù)，在 (4,6) 上是減函數(shù)．

所以當(dāng) x=4 時，y 有最大值 4，即這個容器容積的最大值為 4．