Question

（18）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，

       （I）求證：平面BCD；

       （II）求異面直線AB與CD所成角的大小；

       （III）求點(diǎn)E到平面ACD的距離。

 

      

Answer 1

本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點(diǎn)到平面的距離基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。

       方法一：

       （I）證明：連結(jié)OC

    ∵

       ∵

在中，由已知可得

       而

      

       即

      

       平面

       （II）解：取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知

       直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角

       在中，

      

    ∵是直角斜邊AC上的中線，

      

    異面直線AB與CD所成角的大小為

    （III）解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為

    在中，

   

    而

      

       點(diǎn)E到平面ACD的距離為

       方法二：

       （I）同方法一。

       （II）解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

      

      

       異面直線AB與CD所成角

       的大小為

    

（III）解：設(shè)平面ACD的法向量為則

      

      

       令得是平面ACD的一個(gè)法向量。

       又

       點(diǎn)E到平面ACD的距離