Question

已知A、B是圓x²+y²=4上滿足條件的兩個(gè)點(diǎn)，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，分別過(guò)A、B作x軸的垂線段，交橢圓x²+4y²=4于A₁、B₁點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足
（I）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程
（II）設(shè)S₁和S₂分別表示△PAB和△B₁A₁A的面積，當(dāng)點(diǎn)P在x軸的上方，點(diǎn)A在x軸的下方時(shí)，求S₁+S₂的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)P（x，y），A₁（x₁，y₁），B₁（x₂，y₂），求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求x，y的關(guān)系，結(jié)合向量的垂直關(guān)系及向量的坐標(biāo)運(yùn)算即得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（II）根據(jù)（I）A（x₁，2y₁），B（x₂，2y₂），得出直線AB的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求得點(diǎn)P到直線AB的距離，最后利用基本不等式求出S₁+S₂的最大值即可．
解答：解：（I）設(shè)P（x，y），A₁（x₁，y₁），B₁（x₂，y₂），
則x₁²+4y₁²=4①x₂²+4y₂²=4②從而A（x₁，2y₁），B（x₂，2y₂）由于，所以，進(jìn)而有x₁x₂+4y₁y₂=0③根據(jù)可得（x-x₁，y-y₁）+2（x₂-x，y₂-y）=（0，0）即
由④²+4×⑤²，并結(jié)合①②③得
x²+4y²=（2x₂-x₁）²+4（2y₂-y₁）²
=4（x₂²+4y₂²）+（x₁²+4y₁²）-4（x₁x₂+4y₁y₂）
=4×4+4-4×0=20
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x²+4y²=20
（II）根據(jù)（I）A（x₁，2y₁），B（x₂，2y₂），所以直線AB的方程為
即2（y₂-y₁）x-（x₂-x₁）y+2y₁（x₂-x₁）-2x₁（y₂-y₁）=0
從而點(diǎn)P（2x_2′-x₁，2y₂-y₁）（2y₂-y₁＞0）到直線AB的距離為
=
=
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181414618151315/SYS201310241814146181513020_DA/8.png">
所以S=
而（∵y₁＜0）
所以
由①+②-2×③得
從而有8=（x₂-x₁）²+4（y₂-y₁）²≥2×|x₂-x₁|×2|y₂-y₁|=4|x₂-x₁||y₂-y₁|
當(dāng)且僅當(dāng)|x₂-x₁|=2|y₂-y₁|時(shí)取等號(hào)．
所以S₁+S₂=|（x₂-x₁）（y₂-y₁）|≤2，即S₁+S₂的最大值為2
點(diǎn)評(píng)：求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問(wèn)題之一   求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系，求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法，本題利用的是直接法，直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．