Question

【題目】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，假設(shè)（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑（、為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），求的最大值

Answer 1

【答案】（1）（2）11

【解析】

（1）先求出坐標(biāo)，再由，聯(lián)立求解，即可求得，進(jìn)而求得標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）解法不唯一，可采用方法1中的向量法進(jìn)行轉(zhuǎn)化；也可采用方法2，純代數(shù)運(yùn)算，分別表示出點(diǎn)，其中的中點(diǎn)坐標(biāo)為，可得，再表示出的坐標(biāo)表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)最值可求解；還可采用分類討論直線斜率是否存在的方法，求出直線與圓的點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合的坐標(biāo)運(yùn)算及二次函數(shù)性質(zhì)即可求解；

（1）由題設(shè)知，，，由，得解得、因此橢圓的方程為；

（2）方法1：設(shè)圓的圓心為，

那么，

從而求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值，

因?yàn)?/span>是橢圓上的任意一點(diǎn)，設(shè)，因此，即，

因?yàn)?/span>，因此，

因?yàn)?/span>，因此當(dāng)時(shí)，取得最大值12，

因此的最大值為11；

方法2：設(shè)點(diǎn)，

因?yàn)?/span>的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因此

因此，

，

，

，

因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，因此，即，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，因此，即，

因此，

因?yàn)?/span>，因此當(dāng)時(shí)，；

方法3：①假設(shè)直線的斜率存在，設(shè)的方程為，

由，解得，

因?yàn)?/span>是橢圓上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，

因此，即，

因此，

因此，

因?yàn)?/span>，因此當(dāng)時(shí)，取得最大值11；

②假設(shè)直線的斜率不存在，則的方程為，

由，解得或，

不妨設(shè)，，，

因?yàn)?/span>是橢圓上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，

因此，即，

因此，，

因此，

因?yàn)?/span>，因此當(dāng)時(shí)，取得最大值11，

綜上可知，的最大值為11