Question

【題目】過點(diǎn)的橢圓的離心率為，橢圓與軸交于兩點(diǎn)、，過點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn).

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)點(diǎn)異于點(diǎn)時(shí)，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先求出橢圓方程，當(dāng)直線過橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，寫出直線的方程，并和橢圓聯(lián)立方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式即可求得線段的長(zhǎng)；（2）設(shè)出直線的方程，并和橢圓聯(lián)立方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線與直線的方程，并解此方程組，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入即可證明結(jié)論.

（1）由已知得，得，

橢圓的方程為，

橢圓的右焦點(diǎn)為，

此時(shí)直線的方程為，

由，解得，

；

（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)與題意不符，所以直線與軸不垂直，即直線的斜率存在，

設(shè)直線的方程為

代入橢圓的方程，化簡(jiǎn)得，解得，

代入直線的方程，得，

所以，的坐標(biāo)為，

又直線的方程為，直線方程為，

聯(lián)立解得，即，

而的坐標(biāo)為，

，

即為定值.