Question

坐標(biāo)平面上一點(diǎn)P到點(diǎn)A（

1

2

，0），B（a，2）及到直線(xiàn)x=-

1

2

的距離都相等．如果這樣的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)，那么實(shí)數(shù)a的值是

 

．

Answer 1

分析：坐標(biāo)平面上一點(diǎn)P到點(diǎn)A（

1

2

，0），及到直線(xiàn)x=-

1

2

的距離相等．
則P的軌跡是拋物線(xiàn)，在拋物線(xiàn)上只有一點(diǎn)滿(mǎn)足題意，那么線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，或平行其軸．

解答：解：平面上到點(diǎn)A(

1

2

，0)及到直線(xiàn)x=

1

2

的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線(xiàn)y²=2x．
本題實(shí)質(zhì)上就是該拋物線(xiàn)上有且只有一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A(

1

2

，0)，B（a，2）的距離相等，
有兩種情況：一是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，
一是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行．
可得結(jié)果實(shí)數(shù)a的值為

1

2

或-

1

2

．
故答案為：

1

2

或-

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)的定義，拋物線(xiàn)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．