Question

（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，正方形所在的平面與平面垂直，是和的交點(diǎn)，，且．

   （1）求證：平面；

   （2）求直線(xiàn)與平面所成的角的大小；

   （3）求二面角的大小．

Answer 1

(Ⅰ) 見(jiàn)解析   (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

法一：(Ⅰ)∵四邊形是正方形，

．   ………………………1分

∵平面平面，又∵，

平面．          ……………………2分

平面，．……………3分

平面．            ………………4分

 (Ⅱ)連結(jié)，

平面，

是直線(xiàn)與平面所成的角． ………5分

設(shè)，則

，，   ………………………6分

， ． 

即直線(xiàn)與平面所成的角為…8分

（Ⅲ）過(guò)作于，連結(jié)．   ……………………9分

平面，．平面．

是二面角的平面角． ……10分

∵平面平面，平面．

．

在中， ，有．

由(Ⅱ)所設(shè)可得

，，

．  ………………10分

．．

∴二面角等于．      ……………………12分

解法二: ∵四邊形是正方形 ，，

∵平面平面，平面，     ………2分

∴可以以點(diǎn)為原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)平行于的直線(xiàn)為軸，

分別以直線(xiàn)和為軸和軸，建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則

，

      是正方形的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，

．……………4分

（Ⅰ），，

，

，   ……………………………………4分

平面．  ………………5分

（Ⅱ） 平面，為平面的一個(gè)法向量，…………6分

，．……………7分

．∴直線(xiàn)與平面所成的角為．   ……8分

(Ⅲ) 設(shè)平面的法向量為，則且，

且．

      即

取，則， 則．………………10分

又∵為平面的一個(gè)法向量，且，

，設(shè)二面角的平面角為，則，．∴二面角等于．…12分