Question

如圖，已知四棱錐的底面為菱形，面，且，,分別是的中點(diǎn).

(1)求證：∥平面；

(2)過作一平面交棱于點(diǎn)，若二面角的大小為，求的值.

 

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）問題需要證明的是線面平行，可以考慮通過證明線線平行來證明面面平行，而題中出現(xiàn)了中點(diǎn)，因此可以考慮通過構(gòu)造三角形中位線來產(chǎn)生平行線：取的中點(diǎn),連結(jié)、,

易證四邊形是平行四邊形，從而∥,而平面,平面；（2）根據(jù)圖形的對(duì)稱性，可以利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)來構(gòu)造二面角的平面角，從而利用已知條件中二面角的大小為構(gòu)造含的三角形，進(jìn)而可以求得線段長度之間的關(guān)系：連結(jié)交于，連結(jié)，易證就是二面角的平面角，，

不妨設(shè),可求得，從而.

試題解析：（1）如圖，取的中點(diǎn),連結(jié)、,

∵是的中點(diǎn)，∴∥,且，又是菱形邊的中點(diǎn)，∴∥,且， ∴∥,且，四邊形是平行四邊形，∴∥, 5分

而平面,平面， 6分

∴∥平面. 7分

連結(jié)交于，連結(jié)，∵面，∴，

即，又，且,∴平面， 10分

從而,,∴就是二面角的平面角，， 12分

不妨設(shè),∵，，∴,,,

,∴,在中,， 14分

∴； 15分

考點(diǎn)： 1.線面平行的證明；2.二面角綜合運(yùn)用.