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已知P為曲線E上的任意一點，F(xiàn)1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|．
（1）求曲線E的方程；
（2）若點P在第二象限，∠F2F1P=120°，求△F2F1P的面積．
分析：（1）因為|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4，所以曲線E表示以F1、F2為焦點，長軸2a=4的橢圓，得曲線E的方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）在△F2F1P中由余弦定理，得|PF1|2-|PF2|2+2|PF1|+4=0…①，又|PF1|+|PF2|=4，得|PF2|2=16-8|PF1|+|PF1|2…②，根據(jù)①、②聯(lián)解，得|PF1|=
6
5
，最后用正弦定理可得△F2F1P的面積．
解答：解：（1）∵F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），
∴|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4．
因此，曲線E表示以F1、F2為焦點，長軸2a=4的橢圓，c=1，b2=a2-c2=3
∴曲線E的方程為
x2
4
+
y2
3
=1
（2）∵△F2F1P中，∠F2F1P=120°，F(xiàn)1F2=2
∴根據(jù)余弦定理，得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos120°，
化簡得|PF1|2-|PF2|2+2|PF1|+4=0…①
又∵|PF1|+|PF2|=4，得∴②代入①，得|PF1|=
6
5

根據(jù)正弦定理，可得△F2F1P的面積S=
1
2
|PF1||F1F2|sin120°=
3
5
3
．
點評：本題給出橢圓上一點對兩個焦點的張角為120度，求該點與兩個焦點構成三角形的面積，著重考查了橢圓的標準方程與簡單性質(zhì)等知識，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線D：
x=2
2
cosθ
y=2
2
sinθ
與曲線C交于A、B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為
2
2
的橢圓其交點在x軸上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設M是直線x=-4上上的任一點，以OM為直徑的圓交曲線D于P，Q兩點（O為坐標原點）．若直線PQ與橢圓C交于G，H兩點，交x軸于點E，且
1
2
|PQ|=
(2
2
)2-(
2
)2
=
6
．試求此時弦PQ的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知動點P到直線x=2的距離等于P到圓x2-7x+y2+4=0的切線長，設點P的軌跡為曲線E；
（1）求曲線E的方程；
（2）是否存在一點Q（m，n），過點Q任作一直線與軌跡E交于M、N兩點，點  （
1
|MQ|
，
1
|NQ|
）都在以原點為圓心，定值r為半徑的圓上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=,x＞0.

(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性,證明你的結論;

(2)若當x＞0時,f(x)＞恒成立,求正整數(shù)k的最大值.(參考數(shù)據(jù):ln2≈0.7,ln3≈1.1)

(文) P1是橢圓+y2=1(a＞0且a≠1)上不與頂點重合的任一點,P1P2是垂直于x軸的弦,A1(-a,0),A2(a,0)是橢圓的兩個端點,直線A1P1與直線A2P2交點為P.

(1)求P點的軌跡曲線C的方程;

(2)設曲線C與直線l:x+y=1相交于兩個不同的點A、B,求曲線C的離心率e的取值范圍;

(3)設曲線C與直線l:x+y=1相交于兩個不同的點A、B,O為坐標原點,且=-3,求a的值.

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年江西省高考數(shù)學仿真押題卷02（理科）（解析版） 題型：解答題

已知動點P到直線x=2的距離等于P到圓x2-7x+y2+4=0的切線長，設點P的軌跡為曲線E；
（1）求曲線E的方程；
（2）是否存在一點Q（m，n），過點Q任作一直線與軌跡E交于M、N兩點，點  （，）都在以原點為圓心，定值r為半徑的圓上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：安徽省合肥市2010屆高三第四次模擬（理） 題型：解答題

 

已知曲線D：交軸于A、B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率的橢圓。

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設M是直線上的任一點，以ＯM為直徑的圓交曲線D于P，Q兩點（Ｏ為坐標原點）。若直線PQ與橢圓C交于G，H兩點，交x軸于點E，且。試求此時弦PQ的長。

 

 

 

 

 

 

 

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