Question

16．設(shè)關(guān)于x的不等式ax²+2|x-a|-20＜0的解集為A，試探究是否存在自然數(shù)a，使得不等式x²+x-2＜0與|2x-1|＜x+2的解都屬于A，若不存在，說明理由．若存在，請求滿足條件的a的所有的值．

Answer 1

分析 根據(jù)題意求解A，a為自然數(shù)，對a進行討論，利用根的分布求解即可．

解答 解：不等式x²+x-2＜0與|2x-1|＜x+2的解都屬于A，
可得A={x|$-\frac{1}{3}＜x＜1$}．
∵a為自然數(shù)，對a進行討論．
當a=0時，不等式ax²+2|x-a|-20＜0化簡為2x-20＜0，顯然解集不是A，
當a≥1時，不等式ax²+2|x-a|-20＜0化簡為ax²+2a-2x-20＜0，
令f（x）=ax²+2a-2x-20＜0，其解集為A．
需滿足$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{1}{3}）＞0}\\{f（1）＞0}\end{array}\right.$，解得：$1≤a＜\frac{22}{3}$，
∴滿足條件的a的所有的值為：1，2，3，4，5，6，7．

點評 本題考查不等式的解法，討論思想和轉(zhuǎn)化思想，考查運算能力，屬于中檔題．