Question

2．設(shè)F（1，0）是拋物線G：y²=2px的焦點．
（Ⅰ）求拋物線及準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）求過點P（0，-2）與拋物線G有一個公共點的直線方程；
（Ⅲ）若點P是拋物線上的動點，點P在y軸上的射影是Q，點$M（{\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{15}}}{2}}）$，試判斷|PM|+|PQ|是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用F（1，0）是拋物線G：y²=2px的焦點，求拋物線及準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）分類討論，結(jié)合判別式，求過點P（0，-2）與拋物線G有一個公共點的直線方程；
（Ⅲ）當(dāng)三點A，P，F(xiàn)共線時，|PA|+|PF|最小，此時為|PA|+|PF|=|AF|，

解答 解：（Ⅰ）∵F（1，0）是拋物線G：y²=2px的焦點，
∴拋物線方程：y²=4x，準(zhǔn)線方程：x=-1．＜（1分）＞
（Ⅱ）當(dāng)斜率不存在時：直線L：x=0與拋物線相切；
設(shè)直線L：y+2=kx與拋物線G有一個公共點：
與y²=4x聯(lián)立，消y得：k²x²-（4k+4）x+4=0＜（2分）＞
∴當(dāng)k=0時直線L與拋物線G有一個交點；＜（3分）＞
當(dāng)k≠=0時：△=0，解得：k=--$\frac{1}{2}$，＜（4分）＞
∴所求直線方程：x=0或y=-2或y=-$\frac{1}{2}$x-2．＜（5分）＞
（III）易知點A在拋物線的外側(cè)，延長PM交直線x=-1，
由拋物線的定義可知|PN|=|PM|+1=|PF|，
當(dāng)三點A，P，F(xiàn)共線時，|PA|+|PF|最小，此時為|PA|+|PF|=|AF|，
又焦點坐標(biāo)為F（1，0），所以$|{AF}|=\sqrt{{{（\frac{3}{2}-1）}^2}+（\frac{{\sqrt{15}}}{2}}{）^2}=2$，
即|PM|+1+|PA|的最小值為2，所以|PM|+|PA|的最小值為1．＜（7分）＞．

點評 本題考查拋物線方程的求法，考查線段和最小值的求法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．