Question

如圖，在四面體ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1.

(1)設P為AC的中點．證明：在AB上存在一點Q，使PQ⊥OA，并計算的值；

(2)求二面角O－AC－B的平面角的余弦值．

Answer 1

解法一：(1)在平面OAB內作ON⊥OA交AB于N，連結NC.

又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC.∵NC⊂平面ONC，∴OA⊥NC.取Q為AN的中點，則PQ∥NC，

∴PQ⊥OA.在等腰△AOB中，∠AOB＝120°，∴∠OAB＝∠OBA＝30°.在Rt△AON中，∠OAN

 

＝30°，∴ON＝AN＝AQ.在△ONB中，∠NOB＝120°－90°＝30°＝∠NBO，∴NB＝ON＝AQ，∴＝3.

(2)連結PN，PO.由OC⊥OA，OC⊥OB知OC⊥平面OAB.又ON⊂平面OAB，∴OC⊥ON.

又由ON⊥OA知ON⊥平面AOC.∴OP是NP在平面AOC內的射影．

在等腰Rt△COA中，P為AC的中點，∴AC⊥OP.

根據三垂線定理，知AC⊥NP.∴∠OPN為二面角O－AC－B的平面角．在等腰Rt△COA中，OC＝OA＝1，∴OP＝.在Rt△AON中，ON＝OAtan 30°＝，

∴在Rt△PON中，PN＝＝，∴cos ∠OPN＝＝＝.

解法二：(1)取O為坐標原點，分別以OA，OC所在的直線為x軸，z軸，建立空間直角坐標系O－xyz(如圖所示)

則A(1,0,0)，C(0,0,1)，B.∵P為AC中點，∴P.

設＝λ(λ∈(0,1))，∵＝，

∴＝＋＝(1,0,0)＋λ＝，

∴＝－＝.

∵PQ⊥OA，∴·＝0，即－λ＝0，λ＝.所以存在點Q使得PQ⊥

OA且＝3.

（2）記平面ABC的法向量為n=（n₁，n₂，n₃），則由n⊥，n⊥，且＝(1,0，－1)，

得故可取n＝(1，，1)．

又平面OAC的法向量為e＝(0,1,0)．

∴cos〈n，e〉＝＝.

二面角O－AC－B的平面角是銳角，記為θ，則cos θ＝.