Question

8．已知點P是橢圓$\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{4}=1$上的點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是它的兩個焦點，且∠F₁PF₂=60°，則△F₁PF₂的面積為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 利用橢圓定義和余弦定理列出方程組，求出|PF₁|•|PF₂|，由此能求出△F₁PF₂的面積．

解答 解：∵點P是橢圓$\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{4}=1$上的點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是它的兩個焦點，且∠F₁PF₂=60°，
∴|PF₁|+|PF₂|=4$\sqrt{2}$，
∴|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=32，①
|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos60°=16，②
①-②，得3|PF₁|•|PF₂|=16，∴|PF₁|•|PF₂|=$\frac{16}{3}$，
∴△F₁PF₂的面積S=$\frac{1}{2}$•|PF₁|•|PF₂|sin60°=$\frac{1}{2}×\frac{16}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查三角形面積的求法，則基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．